quarta-feira, 9 de maio de 2012

Centro de massa


            Calculemos  o centro de massa de um aro semicircular ilustrado na figura 9. A origem do sistema de coordenadas está sobre um eixo de simetria da figura. Isto facilita sobremaneira o cálculo da integral.
Intuitivamente, podemos observar que o centro de massa deverá estar no eixo “y”
pois a todo elemento de massa em +x corresponde um outro igual em –x. A ordenada y
do centro de massa, no entanto, não é nula. Também é intuitivo que o centro de massa
não está na origem, que é o centro de curvatura do aro, pois todas as massas estão com
as ordenadas positivas. Na figura façamos o ângulo theta = Q, indicamos um elemento de massa de comprimento RdQ  na altura R.senQ. A massa deste elemento é dm = L.R.dQ, onde L = M/pi.R é a
massa por unidade de comprimento e Int representa a operaçõa integração. Temos então que

M.y(cm) =Int ( y.dm) = Int [R.senQ.(L.R.dQ)] =Int (R^2 L senQ.dQ) = 2.R^2.L

Logo, y(cm) = 2R/pi. Note que a coordenada do centro de massa, como era de se
esperar, não depende da massa.
           Calculemos agora, o centro de massa de um semicírculo (figura 10). O raciocínio é análogo ao exemplo anterior com a diferença de que agora o elemento de massa é dm = s.r.dr.dQ, onde s = 2.M/p.R^2 é a massa por unidade de área.:
Perceba que r agora varia e o elemento de área é r.dr.dQ. Temos então que
                         M.y(cm) = Int( y.dm) = Int [r.senQ.(s.r.dr.dQ)] =
                            s [Int ( r^2.dr  Int ( senQ.dQ)] =  2.s.R^3/3
Logo, y(cm) = 4R/3pi.
Estes dois últimos exemplos mostram alguns fatos interessantes. O baricentro de
uma entidade não está necessariamente “dentro” da entidade como pudemos verificar no
caso do aro semicircular. Embora uma curva delimite uma superfície, seus baricentros
não são necessariamente coincidentes a não ser que sejam perfeitamente simétricos
como é o caso da circunferência e do círculo. Analogamente, um sólido e a superfície
que o envolve terão baricentros coincidentes quando forem simétricos
tridimensionalmente tal qual uma esfera.

Material retirado de: Centro de massa

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